Hur många delmängder har
•
Begreppet mängd
I det här avsnittet bekantar vi oss med begreppet mängd. Vi introducerar i samband med detta olika sätt att beskriva mängder, som används i denna kurs och som är viktiga att kunna vid högre matematiska studier.
Mängder
Det finns många situationer då vi kan vilja samla ett antal objekt av någon typ och ge objekten en gemensam beteckning. Det kan röra sig om objekt i form av tal, ord, bokstäver, personer, färger eller något annat (i det här sammanhanget kommer vi dock främst behandla tal). Vi kan då samla objekten i något som vi kallar en mängd. Ett objekt som finns i en mängd kallar vi ett element.
Det finns tre vanliga sätt som vi kan använda för att beskriva vilka element som ingår i en mängd.
Det första sättet är att beskriva mängden med hjälp av text. Till exempel kan vi beskriva en mängd A genom texten "A är mängden av alla heltal större än 3." Ibland fungerar detta bra, men särskilt när vi har att göra med komplicerade mängder riskerar texten att bli
•
Symboler
$∈$ – Tillhör
$∉$ – Tillhör inte
$\{\}, ∅$ – Tomma mängden
$⊆$ – Delmängd
$⊂$ – Äkta delmängd
Delmängd
En delmängd A till en annan mängd B är när alla element i A också finns i mängden B.
Den tomma delmängden
Betecknas ofta med {} eller ∅. Den tomma delmängden är en delmängd till alla mängder.
Lika delmängder
Två mängder är lika om de innehåller exakt samma element.
Delmängd
Mängden $A$ är en delmängd till $B$ om alla element i $A$ finns i $B$. Detta betecknas som $A⊆B$.
Äkta delmängd
Mängden $A$ är en äkta delmängd till $B$ om alla element i $A$ finns i $B$ och $A ≠ B$. Detta betecknas som $A⊂B$.
Delmängd till sig själv
Varje mängd är också en delmängd till sig själv. Dvs för mängden $A$ gäller att $A⊆A$.
Antalet delmängder
För en mängd gäller att om denna mängd innehåller $n$ element så har den $2^n$ delmängder.
•
Mängdoperationer
I det förra avsnittet introducerade vi begreppet mängd och gick igenom hur vi kan beskriva mängder i text, genom uppräkning eller med hjälp av mängdbyggare. Vi lärde oss även bland annat hur vi kan skriva att en mängd A är en delmängd av en mängd B.
I det här avsnittet ska vi bekanta oss med fyra viktiga mängdoperationer: union, snitt, differens och komplement. Dessa mängdoperationer låter oss bilda nya mängder utifrån redan kända mängder. Vi kan till exempel vilja ange alla element som finns i minst en av mängderna A eller B, eller alla element som bara finns i A men inte i B, eller liknande.
Universalmängd
När vi beskriver olika mängder utgör dessa alltid delmängder av ett universum, beroende på sammanhanget. Har vi till exempel en mängd A = {-7, 0, 2, 5, 9}, så kan vi se denna mängd som en delmängd av heltalen, Z. I så fall utgör Z vad vi kallar en universalmängd eller grundmängd, som då utgör alla de värden som en mängd kan innehålla i detta sammanh